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극대와 극소는 아주 작은 열린 구간에서의 최대, 최소이다 함수의 최댓값과 최솟값을 서울시에 거주하는 고등학교 학년 전체 학생 중에서 키가 가장 큰 학생과 가장 작은 학생으로 비유한다면 함수의 극댓값과 극솟값은 각 반에서 키가 가장 큰 학생과 가장 작은 학생으로 비유할 수 있다. 이런 의미로 최댓값을 global maximum, 최솟값을 global minimum이라 하고 극댓값을 local maximum, 극솟값을 local minimum이라 한다. 여기서 또하나 눈여겨 보아야 할 것은 각 반이 여러 개이면 극댓값과 극솟값은 여러 개가 될 수 있다는 것이다. 사실 극대(local maximum)는 ‘좁은 범위(local)에서의 최대(maximum)’이다. 최대는 어떤 범위 안에서 그 값보다 더 큰 값이 없는 경우를 말하므로 결국 극대는 좁은 범위 안에서 그 값보다 더 큰 값이 없는 경우를 말한다. 이런 이유로 최댓값은 최솟값보다 항상 크지만 극댓값이 극솟값보다 항상 큰 것은 아니다. 이것을 정리하면 다음과 같다. 극대와 극소는 임의의 한 점 근방에서의 최댓값과 최솟값을 의미하고 최대와 최소는 정의역 전체에서의 최댓값과 최솟값을 의미한다. 따라서 함수의 최댓값과 최솟값을 닫힌 구간에서 구할 때는 닫힌 구간의 양 끝점을 제외한 열린 구간에서의 극댓값과 극솟값, 그리고 양 끝값에서의 함숫값 중에서 찾으면 된다. 만약 최댓값과 최솟값을 열린 구간에서 구할 때는 열린 구간에서의 극댓값과 극솟값 중에서 찾으면 된다. 불연속함수의 극대, 극소 극대, 극소의 정의는 연속함수에만 적용되는 것이 아니라 불연속함수에도 똑같이 적용된다. 극대, 극소는 아주 작은 열린 구간에서의 최대, 최소에 대한 논의이고 불연속함수에도 최댓값과 최솟값이 존재하므로 불연속함수에서도 극댓값과 극솟값이 존재한다. 최댓값과 최솟값을 구하는 범위를 아주 작은 열린 구간으로 제한했다는 점을 제외하면 극댓값과 극솟값은 최댓값과 최솟값을 구하는 것과 다르지 않기 때문이다. 오른쪽 그림과 같은 연속함수 f(x)와 불연속함수 g(x) 모두 x=a에서 극댓값을 갖는다. 다음 그림과 같은 함수는 실수 전체의 집합에서 최댓값은 없고 최솟값은 0이다. 이때 최댓값과 최솟값을 구하는 범위를 x=0을 포함하는 아주 작은 열린 구간으로 제한하면 그 열린 구간에 속하는 모든 실수 x에 대하여 f(x)≥f(0)이므로, 즉 그 구간에서 최솟값이 0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 극소이고 극솟값은 f(0)=0이다. 그러나 그 열린 구간에서 최댓값이 없으므로 극댓값 역시 존재하지 않는다. 다음은 불연속함수에서 극대와 극소를 조사한 것이다. 극댓값이 존재하면 ♣, 존재하지 않으면 ♧, 극솟값이 존재하면 ♥, 존재하지 않으면 ♡으로 표시한다. 극대, 극소의 판정 ➊ f(x)가 미분가능한 경우 : 증가, 감소의 판정법을 이용한다. ➋ f(x)가 미분가능하지 않는 경우(뾰족점, 첨점, 불연속점) : 증가, 감소의 판정법을 이용하거나 극대, 극소의 정의를 이용한다. 극대와 극소는 작은 열린 구간에서 최대, 최소 여부를 따지는 일이다. 최대, 최소는 증가와 감소의 변화가 있을 때 비로소 발생하는 것이므로 극대와 극소 역시 함수의 증가와 감소에 주목하게 된다. 무언가 증가하다가 감소하면 증가의 최고점에서 최댓값이 되고 무언가 감소하다가 증가하면 감소의 최저점에서 최솟값이 된다. 이러한 이유로 부등식으로 표현된 극대와 극소의 정의를 증감의 변화를 확인할 수 있는 미분계수로 바꾸어 생각하는 것은 자연스러운 일이다. 함수 f(x)가 x=a에서 연속일 때, x=a의 좌우에서 f(x)가 증가(↗)하다가 감소(↘)하면 함수 f(x)는 x=a에서 극대이다. 바꿔 말해 극댓값은 곡선 위의 어떤 점의 근방에서 가장 큰 함숫값이기 때문에, 그 근방에서 함숫값이 증가(↗)하다가 감소(↘)한다. |
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