극점

극대(Local Max) : 이름에서 볼 수 있다시피 어떠한 구간에서 제일 큰 녀석을 지칭한다.

극소(Local Minimum): 얘도 그렇구.

근데 가끔씩 우리는 얘네를 구할때 바로 도함수 근 구하고, 근 없으면 극점 없어! 라는 결론 내리는데 이거 정말 위험한 발상이다.

우리가 잊고 있었던 얘네의 정의를 상기해보자.

 

1) 극대란?

$x=a$를 포함하는 어떤 개구간에 속하는 모든 $x$에 대해서 $f(x) \le f(a)$면 이때 $x=a$에서 극대가 되고, 함숫값이 극대값이 된다.

 

2) 극소란?

얘도 대충 위에꺼 부등호 방향만 바꾸면 되겠지.

$x=a$를 포함하는 어떤 개구간에 속하는 모든 $x$에 대해서 $f(x) \ge f(a)$면 이때 $x=a$에서 극소가 되고, 함숫값이 극소값이 된다.

 

 

 

정의를 보면 알겠지만,, 함수가 그 점에서 미분불가능해도, 불연속이어도!! 극점은 존재한다.

참고1.

요놈은 $|x|$ 그래픈데, 0에서 극소 가진다. 미분가능관 전혀 상관 없다.

 

 

참고 2.

쟤 $p/q/r/s$에서 다 극점 가진다...

 

 

그럼 우리는 왜 이런 이상한 오개념(??)이 생겼을까? 바로, 우리가 주로 입시에서 다루는 함수는 미분가능하기 때문이다. 

 

미분가능한 함수의 극대와 극소를 따져 보자.

$f(x)$가 실수 전구간에서 미분가능이라 할 때, 어떤 실수 $a$에 대해 $x=a$의 좌우에서 $f'(x)$ 부호가 바뀌면 극점. 우리가 아는 논리다. 이 말을 다시 생각 해 보자면, "미분가능한 함수는 함수의 증감이 바뀌는 구간에서 극값을 가진다" 로 이해할 수 있다. 단지 "미분가능한 함수에서는 이렇게 구할 수 있다" 의 의미인 것이다. 일반적으로는 극점의 원래 정의로 보는 것이 적합할 것이당 ,,